Các định luật Newton

Isaac Newton (1642—1727)

Để đơn giản, các định luật Newton có để minh họa cho một hạt mà không làm mất đi tính tổng quát (đối với hệ chứa N hạt, tất cả các phương trình này đều áp dụng cho từng hạt trong hệ). Phương trình chuyển động cho hạt có khối lượng m chính là định luật thứ hai của Newton phát biểu năm 1687, trong dạng ký hiệu vectơ hiện đại

F = m a , {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \,,}

với a là gia tốc của nó và F là hợp lực tác dụng lên nó. Trong không gian ba chiều, đây là hệ ba phương trình vi phân thường bậc hai cần phải giải, do có ba thành phần trong phương trình vectơ này. Nghiệm thu được là các vec tơ vị trí r của các hạt tại thời điểm t, chịu những điều kiện đầu của r và v khi t = 0.

Các định luật Newton dễ dàng miêu tả trong hệ tọa độ Descarte, nhưng tọa độ Descarte không phải luôn luôn thuận tiện để giải, và đối với một số hệ tọa độ khác phương trình chuyển động có thể trở lên phức tạp hơn. Trong hệ tọa độ cong ξ = (ξ1, ξ2, ξ3), định luật 2 viết dưới dạng ký hiệu chỉ số tenxơ là "dạng Lagrangian"[14][15]

F a = m ( d 2 ξ a d t 2 + Γ a b c d ξ b d t d ξ c d t ) = d d t ∂ T ∂ ξ ˙ a − ∂ T ∂ ξ a , ξ ˙ a ≡ d ξ a d t , {\displaystyle F^{a}=m\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\xi ^{a}}{\mathrm {d} t^{2}}}+\Gamma ^{a}{}_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}}{\mathrm {d} t}}\right)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\xi }}^{a}}}-{\frac {\partial T}{\partial \xi ^{a}}}\,,\quad {\dot {\xi }}^{a}\equiv {\frac {\mathrm {d} \xi ^{a}}{\mathrm {d} t}}\,,}

với Fa là thành phần phản biến thứ a của hợp lực (resultant force) tác dụng lên hạt, Γabc là ký hiệu Christoffel loại hai,

T = 1 2 m g b c d ξ b d t d ξ c d t , {\displaystyle T={\frac {1}{2}}mg_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}}{\mathrm {d} t}}\,,}

là động năng của hạt, và gbc là thành phần hiệp biến của tenxơ mêtric của hệ tọa độ cong. Mọi chỉ số a, b, c, mỗi chỉ số lấy giá trị 1, 2, 3. Chú ý rằng hệ tọa độ cong có định nghĩa khác với hệ tọa độ suy rộng.

Có vẻ như quá phức tạp khi viết định luật Newton theo dạng này, nhưng cách viết này có một số thuận lợi riêng. Các thành phần gia tốc viết theo ký hiệu Christoffel giúp tránh khỏi phải tính đạo hàm theo động năng. Nếu không có hợp lực tác dụng lên hạt, F = 0, nó không chịu sự gia tốc, nhưng sẽ chuyển động với vận tốc không đổi theo một đường thẳng. Về mặt toán học, nghiệm của các phương trình vi phân là những đường trắc địa, đường cong có độ dài cực trị nối giữa hai điểm trong không gian. Trong không gian thực 3 chiều, các đường trắc địa là những đường thẳng đơn giản. Do vậy đối với một hạt rơi tự do, phương trình của định luật hai Newton trùng với phương trình đường trắc đại, và trạng thái của các hạt rơi tự do tuân theo đường trắc địa, những quỹ đạo cực trị mà hạt di chuyển theo. Nếu hạt chịu lực tác dụng, F ≠ 0, nó sẽ chịu gia tốc do lực tác động lên nó, và đi lệch khỏi đường trắc địa mà nó đang rơi tự do. Với sự mở rộng phù hợp cho các đại lượng nêu ở trên từ không gian phẳng 3 chiều sang không thời gian cong 4 chiều, dạng trên của định luật Newton cũng áp dụng cho thuyết tương đối tổng quát của Einstein, mà các hạt rơi tự do đi theo các đường trắc địa trong không thời gian cong chứ không còn là "những đường thẳng" theo nghĩa thông thường.[16]

Tuy nhiên, chúng ta vẫn cần biết tổng hợp lực F tác dụng lên hạt, mà có thể phân tích thành những hợp lực không liên kết N cộng với hợp lực liên kết C,

F = C + N . {\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {C} +\mathbf {N} \,.}

Lực liên kết có thể có dạng phức tạp, do nói chung chúng phụ thuộc vào thời gian. Cũng vậy, nếu có có các liên kết, tọa độ cong không còn là độc lập nữa mà ràng buộc bởi một hay nhiều phương trình liên kết.

Lực liên kết có thể loại bỏ khỏi phương trình chuyển động do vậy chỉ còn lại các lực không liên kết, hoặc thu gọn lại bằng cách kết hợp phương trình liên kết vào trong phương trình chuyển động.